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2025年度 第3回で正答率が低かった問題のふり返り、4級です。

【問題】
次のような性能をもった３種類の機械Ａ、Ｂ、Ｃがあります。

【機械Ａ】100個の物体Ｗを入れると、物体Ｘが25個と、物体Ｙが15個と、
　　　　　物体Ｚが50個できる。
【機械Ｂ】60個の物体Ｘを入れると、物体Ｙが20個と、物体Ｚが30個できる。
【機械Ｃ】40個の物体Ｙを入れると、物体Ｚが10個できる。

これらの機械は、入れる物体の数が１個でも不足していると加工ができません。
たとえば、205個の物体Ｗを機械Ａに入れると、200個の物体Ｗは加工されますが、
５個の物体Ｗは加工されずにそのまま残ります。
(1)　2000個の物体Ｗから、物体Ｚは最大何個できますか。
(2)　1000個の物体Ｚを作るには、物体Ｗは少なくとも何個必要ですか。

【考え方】
(1)　2000個の物体Ｗを機械Ａに入れると、
　　　物体Ｘが、2000×25/100＝500(個)
　　　物体Ｙが、2000×15/100＝300(個)
　　　物体Ｚが、2000×50/100＝1000(個)
　できます。
　機械Ｂは60個の物体Ｘを加工するので、でき上がった500個の物体Ｘのうち
　加工できる物体Ｘは、
　　　500÷60＝8あまり20
　より、60×8＝480(個) です。
　480個の物体Ｘを機械Ｂに入れると、
　　　物体Ｙが、480×20/60＝160(個)
　　　物体Ｚが、480×30/60＝240(個)
　できます。
　機械Ｃは40個の物体Ｙを加工するので、でき上がった物体Ｙ
　300＋160＝460(個) のうち加工できる物体Ｙは、
　　　460÷40＝11あまり20
　より、40×11＝440(個) です。
　440個の物体Ｙを機械Ｃに入れると、
　　　物体Ｚが、440×10/40＝110(個)
　できます。
　よって、2000個の物体Ｗからできる物体Ｚの数は、
　　　1000＋240＋110＝1350(個)
　です。

(2)　機械Ａに入れた物体Ｗの数に対して、
　　　物体Ｘは、25/100＝1/4
　　　物体Ｙは、15/100＝3/20
　　　物体Ｚは、50/100＝1/2
　できます。
　機械Ａでできた物体Ｘを機械Ｂに入れると、
　　　物体Ｙは、1/4×20/60＝1/12
　　　物体Ｚは、1/4×30/60＝1/8
　できます。
　機械ＡとＢでできた物体Ｙを機械Ｃに入れると、
　　　物体Ｚは、(3/20＋1/12)×10/40＝7/120
　できます。
　よって、物体Ｚを1000個つくるのに必要な物体Wの数は、
　　　1000÷(1/2＋1/8＋7/120)＝1463.4・・・
　機械Ａには物体Ｗを100個単位で入れないと加工ができないので、
　十の位を切り上げて、1500個だと考えられます。
　念のため、確認しておきましょう。

　機械Ａに物体Ｗを1500個入れると、
　　　物体Ｘが、1500×25/100＝375(個)
　　　物体Ｙが、1500×15/100＝225(個)
　　　物体Ｚが、1500×50/100＝750(個)
　できます。
　機械Ｂには、物体Ｘを360個入れて、
　　　物体Ｙが、360×20/60＝120(個)
　　　物体Ｚが、360×30/60＝180(個)
　できます。
　機械Ｃには物体Ｙ 225＋120＝345(個) のうち320個を入れて、
　　　物体Ｚが、320×10/40＝80(個)
　できます。
　このとき、物体Ｚは 750＋180＋80＝1010(個) できるので、
　条件を満たします。


　また、次のように考えることもできます。
　(1)より、2000個の物体Wから1350個の物体Zができます。
　そこで、まず比例計算で必要な物体Ｗのおよその個数を求めます。
　　　2000×1000/1350＝1481.・・・
　ただし、各機械は決められた個数単位でしか加工できないので、
　比例計算だけでは答えを決定できません。そこで、1500個の場合を調べると、
　先のように1010個の物体Ｚができるので、条件を満たします。

　一方、1500個より100個少ない、1400個の場合はどうかも確認しておきます。
　計算すると、機械Ａにより、物体Ｘが350個、物体Ｙが210個、物体Ｚが700個
　できます。
　また、機械Ｂにより、物体Ｙが100個、物体Ｚが150個できます。
　そして機械Ｃにより、物体Ｙが310個、物体Ｚが70個できます。
　物体Ｚの合計は、700＋150＋70＝920(個) となり1000個未満なので、
　1500個の物体Ｚが必要だといえます。

４級の問題ですが、このように算数で解くことができますので、丁寧に各機械の性能を追って計算していけば、小学生でも考えられる問題です。

正答率は、(1)が28.3％、(2)が20.8％でした。

解答類型とその反応率を見てみましょう。
(1)　1000個：30.2％　1280個：7.5％　1310個：3.8％
　　　その他：24.5％　無回答：5.7％
(2)　2000個：32.1％　1600個：7.5％　1000個：5.7％
　　　1800個：3.8％　その他：26.3％　無回答：3.8％

(1)の誤答分析
1000個：最も多い誤答である1000個は、機械Ａに2000個の物体Wを入れたときにできた物体Ｚの数です。
1280個：機械Ｃに入れる物体Ｙを、機械Ｂでできた160個のみにしてしまった誤答です。160×10/40＝40(個) より、1000＋240＋40＝1280(個)
1310個：機械Ｃに入れる物体Ｙを、機械Ａでできた300個のみにしてしまった誤答です。300÷40＝7あまり20　40×7＝280(個)　280×10/40＝70(個) より、
1000＋240＋70＝1310(個)

(2)の誤答分析
2000個：最も多い誤答である2000個は、(1)を引きずったものです。(1)で2000個の物体Ｗから1000個の物体Ｚができると答えた子が30.2％もいたわけですから、その子たちは(1)で1000個の物体Ｚをつくるには2000個の物体Ｗが必要だと考えたのでしょう。つまり、(1)で機械Ａから出る物体Ｚだけを数え、物体ＸやＹを機械Ｂ・Ｃでさらに加工することを考えなかった子です。
1600個：(1)で1280個や1310個と考えた子でしょう。比例計算で考えると、2000×1000/1280＝1562.5、2000×1000/1310＝1526.7・・・となるので、十の位を切り上げて1600個と考えたと思われます。
1800個：1800個と答えた子は、(1)で1000個と答えていました。それを踏まえると、どのようにして1800個を導き出したのか、想像ができませんでした。

●まとめ●
この問題は計算量が多いため難しく見えますが、誤答を見てみると、実際には「どの機械まで加工を追えたか」が正答と誤答の分かれ目になっていました。

(1)の1000個という誤答は、機械Ａで直接できる物体Ｚだけを数え、物体Ｘや物体Ｙをさらに機械Ｂ・Ｃで加工できることを見落としていたものです。また、1280個や1310個という誤答からは、機械Ｂや機械Ｃのどちらか一方までは考えられていたことがわかります。

(2)でも同様に、(1)で考えた内容がそのまま影響しています。誤答の2000個は、「2000個の物体Ｗから1000個の物体Ｚができる」という考えをそのまま逆にたどった結果と考えられます。

このように、子どもたちの解答を見ていると、「できた・できなかった」だけではなく、「どこまでは考えられていたのか」が見えてきます。複雑な条件の問題ほど、一度に全部を考えようとするのではなく、物体がどのように変化していくのかを順番に整理していくことが大切です。