TOPICS

2023年度第3回8級で正答率の低かった問題の紹介です。

「場合の数」の問題で、数え上げるだけといえばそれだけなのですが、過不足なく数え上げるのところが場合の数の難しいところです。

今回は小問３問を出しましたが、そのうち(1)と(3)の正答率が低かったので、その２問について見てみましょう。

【問題】
シロ、クロ、ハナという名前の犬がいて、 ３匹は次のように吠えます。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
シロは、「ワン！」と１回吠えます。
クロは、「ワン！ワン！」と２回続けて吠えます。
ハナは、「ワン！ワン！ワン！」と３回続けて吠えます。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
３匹が一緒に吠えることはなく、例えば、シロ➡クロの順に吠えると、
「ワン！ワン！ワン！」と３回聞こえます。
また、同じ犬が続けて吠えることもあり、例えば、シロが２回続けて吠えると
「ワン！ワン！」と聞こえます。

(1)　吠える声が「ワン！ワン！ワン！ワン！ワン！」と５回聞こえました。聞こえたのは、シロとハナの吠える声だけです。吠えた順番は何通り考えられますか。

(3)　吠える声が「ワン！ワン！ワン！ワン！」と４回聞こえました。何匹の犬が吠えたのかはわかりません。吠えた犬とその順番の組み合わせは何通り考えられますか。

(1)の正答率は47.2％、(3)の正答率は18.6％です。

では、考え方を見てみましょう。

【考え方（1）】
ハナは３回続けて吠えるので、ハナが吠えたのが１回、残りの２回はシロが吠えたとわかります。これより、吠えた順番は、「ハナ➡シロ➡シロ」、「シロ➡ハナ➡シロ」、「シロ➡シロ➡ハナ」の３通り考えられます。

解答類型とその反応率は、次の通りです。
１通り：6.5％　２通り：22.7％　３通り（正解）：47.2％
４通り：7.9％　５通り：1.7％　６通り：0.9％
７通り：1.6％　８通り：0.9％　10通り：0.8％
その他：7.9％　無回答：1.9％

２通りという答えが意外と多いですね。
シロが２回連続で吠えたと考え、「ハナ➡シロ➡シロ」、「シロ➡シロ➡ハナ」の２通りだと考えたのかもしれません。

では、(3)を見てみましょう。

【考え方（3）】
・吠えたのがシロだけのときは、「シロ➡シロ➡シロ➡シロ」の１通り
・吠えたのがシロとクロのときは、「 シロ➡シロ➡クロ」、「シロ➡クロ➡シロ」、　
「クロ➡シロ➡シロ」の３通り
・吠えたのがシロとハナのとき、「シロ➡ハナ」、「ハナ➡シロ」の２通り
・吠えたのがクロだけのとき、「クロ➡クロ」の１通り
合わせて、1＋3＋2＋1＝7（通り）です。

解答類型とその反応率は、次の通りです。
１通り：1.9％　２通り：9.6％　３通り：8.8％
４通り：17.5％　５通り：10.4％　６通り：14.9％
７通り（正解）：18.6％　８通り：3.3％
その他：11.0％　無回答：3.8％

正答率も低く解答類型も分散していますが、その中でも４通りが多いですね。
組み合わせとしては、「シロだけ」、「シロとクロ」、「シロとハナ」、「クロだけ」の４通りなので、そのように考えたのかもしれません。

もし “組み合わせ” と考えたのなら、(1)が１通り、(3)が４通りと答えた児童が多かったのかなと思いましたが、その組み合わせで答えた児童は2.4％でした。

ちなみに、(1)２通り、(3)４通りは6.0％、(1)３通り、(3)４通りは7.1％、
(1)４通り、(3)４通りは1.1％、(1)５通り、(3)４通りは0.5％でした。

(1)で正解の３通りと答えられた児童もいたことを考えると、やはり過不足なく数え上げることの難しさを実感いたします。