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今回は、2023年度第２回の３級の分析です。

３級といっても、地道に数え上げれば小学生でも解ける問題もよく出します。
ただ、地道に数え上げると時間がかかってしまいます。そんなときに思考力を働かせて規則性を見出せば、簡単に答えが導き出せます。
今回は、そんな問題をご紹介します。

【問題】
100個の石を左から右へ１列に並べます。まず、左から数えて奇数番目の石をすべて列から取り除きます。取り除いたら、再び左から奇数番目の石を列からすべて取り除きます。この操作を繰り返したとき、最後に残った石は、はじめに並んでいたとき左から何番目の位置にあった石ですか。

まずは、地道にやってみましょう。
小さくて数が見にくいですが、奇数番目を青色、偶数番目をピンク色で表現しました。

このように、地道にやれば最初に64番目だった石が残ることがわかります。

しかし、地道にやると時間がかかるので、規則性を見つけたいですね。

まず、１回目に奇数番目を取り除いたとき、残った数はどんな数でしょう。
当然、偶数ですね。偶数なので、すべて２の倍数です。

次に、２回目に奇数番目を取り除いたとき、残ったのはどんな数でしょう。
4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、…
すべて４の倍数ですね。

では、３回目に奇数番目を取り除いたときに残ったのはどんな数でしょう。
8、16、24、32、40、48、56、64、72、80、…
すべて８の倍数ですね。

何となく、規則性が見えてきました。
見えてきた規則性が正しいかを意識しながら、４回目以降も見てみましょう。

４回目に奇数番目を取り除いたときに残った数は、
16、32、48、64、80、96で、すべて16の倍数です。

５回目に奇数番目を取り除いたときに残った数は、
32、64、96で、すべて32の倍数です。

６回目に奇数番目を取り除いたときに残った数は、
64のみで、64の倍数です。

よって、最後に残った石は64番目の石だということがわかりました。

つまり、残った石には、次のような規則性があったのです。
２の倍数→４の倍数→８の倍数→16の倍数→32の倍数→64の倍数

この規則性に思い至れば、一瞬で64番目だとわかりますが、地道に数え上げてからこの規則性に気づくことも、また思考力です。

解答類型とその反応率も見ておきましょう。

64番目：46.8％、80番目：16.4％、78番目：4.3％、100番目：3.6％、
その他：28.9％（ただし、すべて2.2％以下）

80番目と答えた生徒が意外と多かったのですが、どうしてそのように答えたのかまでは思い至れませんでした。

なお、次に石の数を1000個にし、偶数番目の石を取り除く問題を出しました。

【問題】
1000個の石を１列に並べ、偶数番目の石を残り２個になるまで取り除いていきます。最後に残った２個の石は、はじめに並んでいたとき左から何番目の位置にあった石ですか。

答えは「１番目と513番目」で、正答率は7.1％でした。

ただ、偶数を取り除くルールなので、「１番目」は常に残り続けます。そのため、「１番目」だけは分かるだろうと思ったのですが、正解者以外で「１番目」を答えられた生徒は23.6％しかいませんでした。（正解者と合わせると、7.1％＋23.6％＝30.7％ が「１番目」を答えられたことになります。）

ちなみに、反応率の大きかった解答類型は、以下の通りとなります。
400番目：10.0％、800番目：7.9％、512番目：5.7％、
256番目：4.3％、900番目：4.3％、1000番目：4.3％、
200番目：2.9％、998番目：2.9％、999番目：2.9％

この問題は、少し難しすぎましたね。
でも、7.1％の生徒は正解できているので、かなり思考力が高いものと思われます。

この問題も先の問題と同様に1000個の数を書き上げて考える必要はなく、いくつか書き出すことで規則性を見出すことができます。

ぜひ考えてみてください。